Random normal matrices ensembles: projection, asymptotics behavior and universality of ugenvalues / Ensembles de matrizes aleatórias normais: projeção, comportamento assintótico e universalidade dos autovalores

AUTOR(ES)

Alexei Magalhães Veneziani

DATA DE PUBLICAÇÃO

2008

RESUMO

Uma matriz `A IND.N´ de ordem N ´e normal se e somente se comuta com sua adjunta. Nesta tese investigamos a estatística dos autovalores (no plano complexo) de ensembles de matrizes aleatórias normais quando a ordem N destas tende a infinito. A função distribuição de probabilidade no espaço das matrizes normais atribui, como na mecânica estatística, um peso de Boltzmann `e POT.-NF(`A IND.N´)´ a cada realização `A IND.N´ destas matrizes, onde F é uma função a valores reais invariante por transformações unitárias. Realizando uma mudança de variáveis (das variáveis de entrada para as variáveis espectrais), escrevemos a distribuição marginal conjunta dos autovalores `{`z IND.i´} POT.N´ `IND.i=1´, bem como a função de n-pontos correspondente a vários ensembles, como o determinante de um núcleo integral associado. A partir deste formalismo bem estabelecido na literatura, apresentaremos nesta tese dois tipos de resultados: Primeiramente, explorando a semelhança da distribuição conjunta dos autovalores a um problema variacional sobre as medidas de equilíbrio eletrostático de cargas sujeitas a um potencial externo V : C ? R (escolhendo F(`A IND.N´) = ```sigma´ POT.N´ IND.i´=1 V (`z IND.i´)), podemos aplicar a teoria de potenciais logarítmicos para obter a única medida de equilíbrio coincidente com a função de 1-ponto destes ensembles. Com base nesta teoria, propomos nesta tese um método de interpolação analítica capaz de projetar a medida de equilíbrio dos ensembles normais em medidas de equilíbrio dos ensembles hermitianos e unitários correspondentes. Ilustramos o procedimento com várias aplicações. O segundo tipo de resultados utiliza o método de ponto de sela ao nícleo integral da família de ensembles de matrizes normais com potenciais `V IND.`alfa´´ (z) = `|z| POT.`alfa´´ , z `PERTENCE A´ C e `alfa´ `PERTENCE A´ ]0,`INFINITO´[. Analogamente ao que foi demonstrado em ensembles hermitianos por Deift, estabelecemos por intermédio desta expansão um conceito similar de universalidade para esta família, fazendo uso de mapas conformes e a teoria de espaços de Segal-Bargmann. Sobre o sentido de universalidade definido por G. Oas, mostramos que a afirmação de universalidade neste sentido por este autor é incorreta quando a cauda desta probabilidade é levada em conta.

ASSUNTO(S)

universality reproductor and integral kernel random normal matrices asymptotic expansion universilidade engenvalues distribution expansão assintótica núcleo integral e reprodutor distribuição dos autovalores matrizes aleatórias normais

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